Segundo corredor: Conceitos e conjuntos

Vamos falar agora de conceitos e conjuntos.
Em alguns textos (os quais não compreendo muito bem) aparecem nomes "de filosofia". Com esse nome quero abrigar palavras como "ontológico" (talvez não seja um nome pelas regras do português, mas não importa). Acredito que esses nomes devam ter a sua importância, que é agrupar algumas coisas por um nome que as lembre.
Para ser conjunto é preciso que definamos os elementos ou que saibamos identificar se algum objeto pertence ao conjunto? Parece bobo, mas é um tanto complexo (ao menos para a minha cabeça).
Podemos ter um conjunto sem definirmos um elemento? Esse seria o caso dos argumentos no mundo que são ditos ontológicos. Acho que não teríamos como definir (nem com essa nem com outra palavra; aliás tive o azar de escolher justo uma que absolutamente não conheço o significado), mas que, dado um argumento, poderíamos dizer se ele é ontológico ou não.
Podemos ter um conjunto em que não saibamos dizer se um objeto pertence ao conjunto? Não me ocorre aqui nenhum exemplo matemático (eles são bons porque são exatos e existem em um sentido suficientemente forte). Havia o caso dos primos, de como descobrir quem era primo (e pertencia ao conjunto dos primos [e primos tem um significado definido no contexto dos números inteiros, é o conjunto dos inteiros com dois divisores positivos]). Havia jeitos de descobrir mas o procedimento duraria muito mais do que a "vida do universo" para primos suficientemente grandes. E aí, seria decifrável se um número é primo ou não? O problemão desse exemplo é que em 2003 uns indianos descobriram um método que determina a primalidade rapidamente (diz-se que em tempo polinomial, e não no tempo exponencial dos outros métodos, que cresciam muito rápido mesmo; maiores informações, pesquise). Mas considere-se anterior a esse período e faça-se essa pergunta: podemos dizer se um número é primo se demora tanto pra saber com qualquer ferramenta que usarmos? (Aqui entra uma questão muito interessante, sem dúvida: será que todos os problemas são resolvíveis depois de um tempo? Talvez os teoremas de Gödel falem sobre isso; eu nunca os compreendi muito bem.)
Pense nisso antes de dormir! Alguma luz, me avise!