curtas meio longos sobre matemática

Alguns dizem que a matemática é universal. Isto quer dizer, mais ou menos, que quaisquer pessoas pensando sobre o mesmo problema chegarão à mesma resposta se conseguirem resolvê-lo. Ou melhor, as mesmas verdades são redescobertas.

Para cuidar de objetos, isto é, para manipular suas quantidades (como em um jogo com peças coloridas), basta que saibamos fazer as quatro operações básicas. O curioso (desculpe se for óbvio, mas acho que nem todo mundo sabe) é que alguns aspectos só podem ser observados com uma matemática mais avançada. Pegando de um livro: "O Cálculo é o melhor auxílio de que dispomos para apreciar a verdade física no mais amplo sentido da palavra" (Willian Fogg Osgood). Posso dizer que sim, que a física se revela muito simplesmente desde que se use a ferramenta adequada; no caso, o cálculo integral e diferencial.

Quero rebater a idéia de que nossa mentes finitas não conseguem compreender algo que é infinito. Na verdade, essa é só uma frase de efeito, carregada nas bocas de pessoas; algumas delas de mau gênero. Podemos, sim, compreender o infinito. Conheço duas abordagens.
Uma delas consiste em não tratar de todos um por um, mas simplesmente designar os elementos por uma propriedade. Não é porque eu não posso listar (finitamente) todos os números complexos que eu não posso dizer que todos os complexos têm o seu conjugado, ou que todo complexo tem seu quadrado. Se quisermos sair de coisas tão simples, digo que podemos provar que qualquer equação polinomial tem ao menos uma solução complexa. Elas são infinitas, mas ainda assim podemos saber coisas sobre todas elas.
Outro trato é feito especialmente para os números naturais. Usa-se o Axioma da Indução para "compreender" o infinito dos naturais. Tanto que eu praticamente posso dizer que entendo muito bem o que é o infinito dos naturais. (E quero aprender melhor o dos reais.)
Listarei os Axiomas de Peano para que você veja como eu compreendo (e 'compreendo' valendo no sentido de entender ou de limitar) os números naturais.
1) Existe uma função s:N -> N; s(n) é chamado o sucessor de n.
2) s é injetiva
3) Existe um único natural que não é sucessor de ninguém. Esse elemento será denotado por 1.
4) (Axioma da Indução) Se X é um conjunto de números naturais satisfazendo
a) 1 pertence a X
b) se n pertence a X, s(n) pertence a X,
então X contém todos os naturais."
Eu consigo muito bem sabendo esses axiomas entender a estrutura dos números naturais; basicamente, é uma fileira sem fim de pontos.
Desenhando, sem compromisso com símbolos, 1 -> 2 -> 3 -> y -> $ -> @ -> ... são os naturais, em que o sucessor de um natural é aquele que está imediatamente à direita deste.
Esses axiomais definem bem o que são naturais; e eu, pessoalmente, posso dizer que entendo os naturais, mesmo sendo eles infinitos.
Os reais são bem mais "numerosos", mas também se pode entendê-los, embora seja mais complicado.
Então, minha mente finita é capaz muito bem de compreender uns infinitos aqui ou acolá.

Complementando (de uma forma feia e não muito incisiva) alguns posts anteriores, digo que é preciso também alguma fé para trabalhar com matemática. Não acho que seja uma fé absurda, nem que isso justifique a validade de outras fés (como religiões ou superstições), mas sim que é preciso ter uma confiança do que se faz, e o que se faz não é tão absoluto. Por mais que justifiquemos e chamemos de lógico alguma coisa, ainda assim ela não é certa totalmente certa. Não há como justificar tão bem a transitividade de igualdade, por exemplo. Mesmo que se defina ela cumprindo a transitividade, ainda segue um furo, a possibilidade de um engano justo quando estivermos usando essa propriedade! Não temos garantia de que regras serão sempre satisfeitas. E mesmo que supormos, quem garante que não falhe, além da chance se estarmos supormos bobagem?
Mas é claro que apesar disso, as demonstrações matemáticas parecem bem confiáveis e acredito bastante nelas.