de exemplos

Ainda não tenho certeza, mas fica a idéia. Seria muito bom se fosse verdadeiro, mesmo, em algum sentido que ainda precisamos descobrir melhor. Mas tenho alguma esperança de encontrar...
A idéia seguirá:

Podemos usar um exemplo como ilustração para mostrar uma idéia. E podemos dizer que a demonstração será válida para toda a família de exemplos, exatamente aqueles que não diferem do usado nas características que foram necessários à prova. Assim, se alguém mostra (que nesse caso não sei se seria mais uma demonstração; se está indicando, se fazendo ver) como se divide um segmento de reta em dois de mesmo comprimento, ele usa um caso especial como ilustração; digamos um traço preto de sete centímetros de comprimento (verdade que não será um segmento exato porque não sabemos desenhar segmentos... como fazer o comprimento sem largura, como definia Euclides?). Mas o processo usado será o mesmo para qualquer segmento (esquecemos considerações físicas, como ter um compasso suficientemente grande, ou qualquer outra coisa; falamos de algo que podemos chamar de geometria e não é "aqui" [meio que mal usada essa palavra] que devemos levar em conta essas dificuldade). Assim, a demonstração sseria válida para qualquer segmento que não o usado. Agora, ele não seria válido para uma reta (para os curiosos: porque elas não têm extremos, e eles são usados para a divisão) nem para um triângulo; só valia para aquela família de elementos: os segmentos. Valeria para outras coisas que também satisfizessem o que foi usado na prova, mas acho que todos eles são chamados segmentos (de reta, claro; isso esteve implícito nas outras vezes).
Repare (e acho tão bonito concluir dessa forma) que usei um exemplo. E daí... Veja como se torna interessante! Realmente motivante! Mas como você talvez não tenha pensado nisso tantas vezes como pensei nos últimos dias, posso ajudá-lo. Repare que quis motivar que (dessa vez sem índices: escreverei tudo de novo) com algum exemplo podemos mostrar uma verdade para toda uma categoria, desde que saibamos o que fizemos (pode parecer estranho a alguns, mas é bom saber que nem todas funções são diferenciáveis, por exemplo [e esse caso de exemplo não se encaixa na idéia do post, repare bem; aqui realmente tudo que queríamos era justamente um exemplo, que na verdade também não era necessário {repare! pense!}]) e não "mintamos" sobre a abrangência dessa categoria, e para motivar isso usei... um exemplo! E daí? Será que vale só para esse exemplo, e que o que usei não vale para todos os casos? Essa é uma questão que eu considero digna de ser investigada. (Estou especialmente aberto para receber algum acréscimo, principalmente a quem achar um contra-exemplo. [Pesquise o que é isso se não sabe; não precisa ir longe na internet, já fiz um post sobre isso.] Na verdade, estou muito curioso sobre esse assunto.)

(Isso [o todo, a idéia principal que teve até um anúncio], que parece razoável, não é originalmente meu. Parece que alguém escreveu isso antes; li num livro de George Berkeley. O exemplo do segmento é dele. [Mas claro que houve muitos incrementos meus. Afinal, eu escrevi...])